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【例題】
次の関数のx=aにおける微分係数を求めよ。
(１)f(x)=4x (２)f(x)=x^2
（解）
(１)f'(a)=lim {4(a+h)-4a}/h
h→0
=lim 4h/h
h→0
=4
(２)f'(a)=lim {(a+h)^2-a^2}/h
h→0
=lim (2ah+h^2)/h
h→0
=lim (2a+h)
h→0
=2a
関数f(x)はx=aにおいて微分可能であるとする。xがaからa+hまで変化するときの平均変化率
{f(a+h)-f(a)}/h
は、グラフ上の2点 A(a,f(a)),P(a+h,f(a+h))を通る直線APの傾きである。h→0とすれば、点Pは曲線y=f(x)に沿って点Aに限りなく近づき、直線APは点Aを通る1つの直線lに限りなく近づくことがわかる。この直線lを点Aにおける曲線y=f(x)の接線といい、点Aをその接点という。
{f(a+h)-f(a)}/h→f'(a)
(h→0)
であるから、関数y=f(x)のx=aにおける微分係数f'(a)は曲線y=f(x)上の点A(a,f(a))における接線の傾きに等しいことがわかる。
◆微分係数と接線の傾き
曲線y=f(x)上の点(a,f(a))における接線の傾きは、微分係数f'(a)に等しい。
【例】
f(x)=x^2のときf'(a)=2aであり、曲線y=x^2上の点(-1,1),(0,0),(2,4)における接線の傾きはそれぞれ-2,0,4である。
…これを書いて、ようやく理解できました！
やっぱり何度も考えてみるのが大切なんですね＾＾；
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