お勉強(微積分編)

第１章 微分法

1･2 関数の連続

2つの実数a,b(a＜b)について、a＜x＜bを満たす実数x全体の集合を開区間といい、(a,b)で表す。また、a≦x≦bを満たす実数x全体の集合を閉区間といい、[a,b]で表す。
このほか、a＜x≦b、a≦x＜b、x＞a、x≦bなどを満たす実数x全体の集合を、それぞれ(a,b]、[a,b)、(a,∞)、(-∞,b]などで表す。また、実数全体の集合を(-∞,∞)で表す。これらを総称して区間といい、Iなどの記号で表す。区間内の実数xを点xということがある。

一般に、関数f(x)の定義域内の点aにおいて、
lim f(x)
x→a
が存在して
lim f(x)＝f(a)
x→a
が成り立つとき、f(x)は点aで(またはx=aで)連続であるという。
また、関数f(x)がある区間のすべての点で連続であるとき、f(x)はその区間で連続であるという。

【例】
（1）f(x)=x^2+2x-3のとき、aを任意の実数とすると
　lim f(x)
　x→a
＝lim (x^2+2x-3)
　x→a
＝a^2+2a-3
＝f(a)
したがって、f(x)は区間(-∞,∞)で連続である。
（2）f(x)=1/(x-a)は、区間(-∞,a)および区間(a,∞)で連続である。
（3）f(x)=√xは区間[0,∞)で連続である。