お勉強(微積分編)

第１章 微分法

1･3 微分係数

関数y=f(x)において、変数xの値がx1からx2まで変化するとき、yはy1=f(x1)からy2=f(x2)まで変化する。
このとき、xの値の変化量x2-x1をxの増分といい、Δxで表す。
Δx=x2-x1
このとき x2=x1+Δx
同様に、y2-y1=f(x2)-f(x1)をyの増分といい、Δyと表す。

ΔyとΔxの比
Δy/Δx={f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)={f(x1+Δx)-f(x1)}/(x2-x1)
を、x1からx2までのy=f(x)の平均変化率という。

【例題】
次の関数のx=1からx=1+Δxまでの平均変化率を求めよ。
(１)y=2x-1 (２)y=x^2
（解）
(１)Δy={2(1+Δx)-1}-(2･1-1)=2Δx
よって
Δy/Δx=(2Δx)/Δx=2
(２)Δy=(1+Δx)^2-1^2=2Δx+(Δx)^2
よって
Δy/Δx={2Δx+(Δx)^2}/Δx=2+Δx

以後、xの増分Δxをhと書くこともある。
x=aからx=a+hまでの平均変化率
{f(a+h)-f(a)}/h
について、h→0のときの極限値が存在するときのその極限値を、f(x)のx=aにおける微分係数(変化率)といって、f'(a)で表す。

◆f'(a)の定義式
f'(a)=lim {f(a+h)-f(a)}/h
　　　h→0

f'(a)が存在するとき、f(x)はx=aで微分可能である。