素数について「Ｐ＝２＾ｍ＋３＾ｎ」

対象読者：
大学で整数論・情報理論などを履修した人、若しくは、素数に興味のある人．

本稿の目的：
素数についてのアイデアの提供です．

前提：
100以下の素数は2の累乗と3の累乗の和または差の形に表わすことが出来ることを確認しました．

例えば、
5=2+3 7=2x2+3
11=2+3x3 13=2x2x2x2-3
などです．

このことが100を超える素数についても、つまり全ての素数についても成り立つのかどうか、を考えてみたいと思います．

ただし、2の累乗と3の累乗の和または差をパソコンを使い単精度でプログラミングして計算した範囲では、差が53となる自然数 m、n の組は発見できませんでした．倍精度で計算すれば見つかるのか、それとも、そのような自然数 m、n は存在しないのか、分かりません．単精度、倍精度と云うよりも、桁落ちが起きないプログラムを書いて計算を行えばいいのですが、桁落ちが起きないプログラムを考えるのが大変だったので、これは諦めました．

それでは、次の問いを立ててみたいと思います．

第１問：
53 = abs( pow(2,m) - pow(3,n) ) を満たす自然数 m、n は存在するのでしょうか？

ここで、abs( ) は絶対値を計算する関数とします．
例えば、abs(-35)=35 です．

また、pow( ) は累乗を計算する関数とします．
例えば、pow(2,5)=2x2x2x2x2=32 です．

（フォートランなら、５３＝｜２＾ｍ　－　３＾ｎ｜　です）

参考図

第２問：
全ての素数は2の累乗と3の累乗の和または差の形に表すことができるのでしょうか？

数式で言えば、
P=pow(2,m)+pow(3,n)
または、
P=abs(pow(2,m)-pow(3,n))
の形で表わすことは出来るのか、どうかと云うことです．

ただし、素数2と3は例外とします．

また m、n は自然数とします．（自然数とは正の整数の事です）

参考表

参考表

――　奥付　――
素数について「Ｐ＝２＾ｍ＋３＾ｎ」
著者：茜町春彦

累乗を表すために、Ｃ言語のpow()関数で数式を書きました．表題はFortran風に書きました．

また、第１問と第２問に対する解答は用意できていません．今後とも私の力では解けないだろうと思っています．各自で考えてください．

初出： 「数学エッセイ（素数：２＾ｍ＋３＾ｎ）」2013年7月
電子書籍プラットフォーム「パブー」で公開した作品です．
パブーの閉店に際し、こちらに移植しました．