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《素数判定式》
Ｐ＝６ｎ＋１の時、Ｐが素数かどうかを判定する数式を考えます．
まず、Ｐより絶対値が小さい数は｛－５、７、－１１、１３、－１７ ・・・ ６ｎ－１１、－６ｎ＋７、６ｎ－５、－６ｎ＋１}です．
Ｐがこれらの小さな数の倍数でなければ、Ｐは素数です．
ここで、前述の倍数かどうかを判定する三角関数を使います．
繰り返しの説明になりますけれど、Ｐが－５の倍数かどうかの判定は、次の式の計算結果から判定します．
ｙ＝ｓｉｎ（（Ｐ＋５）÷（－３０））π
ｙ＝０ならＰは－５の倍数です．ｙ≠０なら倍数ではありません．
Ｐが７の倍数かどうかの判定は、次の式を計算して、ｙ＝０ならＰは７の倍数です．ｙ≠０なら倍数ではありません．
ｙ＝ｓｉｎ（（Ｐ－７）÷４２）π
Ｐが－１１の倍数かどうかの判定は、次の式を計算して、ｙ＝０ならＰは－１１の倍数です．ｙ≠０なら倍数ではありません．
ｙ＝ｓｉｎ（（Ｐ＋１１）÷（－６６））π
この後もＰが１３、－１７、１９、－２３、２５ ・・・ ６ｎ－５、－６ｎ＋１まで、同様に考えます．
Ｐが６ｎ－５の倍数かどうかの判定は、次の式を計算して、ｙ＝０ならＰは６ｎ－５の倍数です．ｙ≠０なら倍数ではありません．
ｙ＝ｓｉｎ（（Ｐ－６ｎ＋５）÷（３６ｎ－３０））π
Ｐが－６ｎ＋１の倍数かどうかの判定は、次の式を計算して、ｙ＝０ならＰは－６ｎ＋１の倍数です．ｙ≠０なら倍数ではありません．
ｙ＝ｓｉｎ（（Ｐ＋６ｎ－１）÷（－３６ｎ＋６））π
そして、上記のｙ全ての積を作れば、いっぺんに結果が出せると思ったのです．そこで、次の数式を考えました．
Ｙ＝ｓｉｎ（（Ｐ＋５）÷（－３０））π＊ｓｉｎ（（Ｐ－７）÷４２）π＊ｓｉｎ（（Ｐ＋１１）÷（－６６））π＊ｓｉｎ（（Ｐ－１３）÷７８）π ・・・・・・ ｓｉｎ（（Ｐ－（６ｎ－５））÷（３６ｎ－３０））π＊ｓｉｎ（（Ｐ－（－６ｎ＋１））÷（－３６ｎ＋６））π
この数式Ｙが素数判定式です．
与えられた数Ｐを右辺に代入して、Ｙ＝０となればＰは合成数です．
Ｙ≠０であればＰは素数であると判定します．Ｐが、Ｐより小さい数の倍数になっていないからです．
例えばＰ＝９１の場合：
９１より小さい数は、－５、７、－１１、１３、－１７、１９、－２３、２５、－２９、３１、－３５、３７、－４１、４３、－４７、４９、－５３、５５、－５９、６１、－６５、６７、－７１、７３、－７７、７９、－８３、８５、－８９です．
よって、素数判定式は次の通りです．
Ｙ＝ｓｉｎ（（９１＋５）÷（－３０））π＊ｓｉｎ（（９１－７）÷４２）π＊ｓｉｎ（（９１＋１１）÷（－６６））π＊ｓｉｎ（（９１－１３）÷７８）π＊ｓｉｎ（（９１＋１７）÷（－１０２））π＊ｓｉｎ（（９１－１９）÷１１４）π＊ｓｉｎ（（９１＋２３）÷（－１３８））π＊ｓｉｎ（（９１－２５）÷１５０）π＊ｓｉｎ（（９１＋２９）÷（－１７４））π＊ｓｉｎ（（９１－３１）÷１８６）π＊ｓｉｎ（（９１＋３５）÷（－２１０））π＊ｓｉｎ（（９１－３７）÷２２２）π＊ｓｉｎ（（９１＋４１）÷（－２４６））π＊ｓｉｎ（（９１－４３）÷２５８）π＊ｓｉｎ（（９１＋４７）÷（－２８２））π＊ｓｉｎ（（９１－４９）÷２９４）π＊ｓｉｎ（（９１＋５３）÷（－３１８））π＊ｓｉｎ（（９１－５５）÷３３０）π＊ｓｉｎ（（９１＋５９）÷（－３５４））π＊ｓｉｎ（（９１－６１）÷３６６）π＊ｓｉｎ（（９１＋６５）÷（－３９０））π＊ｓｉｎ（（９１－６７）÷４０２）π＊ｓｉｎ（（９１＋７１）÷（－４２６））π＊ｓｉｎ（（９１－７３）÷４３８）π＊ｓｉｎ（（９１＋７７）÷（－４６２））π＊ｓｉｎ（（９１－７９）÷４７４）π＊ｓｉｎ（（９１＋８３）÷（－４９８））π＊ｓｉｎ（（９１－８５）÷５１０）π＊ｓｉｎ（（９１＋８９）÷（－５３４））π
計算結果は、Ｙ＝０となるので、９１は合成数と判定します．
例えばＰ＝－２９の場合：
－２９より小さい数は、－５、７、－１１、１３、－１７、１９、－２３、２５です．
よって、素数判定式は次の通りです．
Ｙ＝ｓｉｎ（（－２９＋５）÷（－３０））π＊ｓｉｎ（（－２９－７）÷４２）π＊ｓｉｎ（（－２９＋１１）÷（－６６））π＊ｓｉｎ（（－２９－１３）÷７８）π＊ｓｉｎ（（－２９＋１７）÷（－１０２））π＊ｓｉｎ（（－２９－１９）÷１１４）π＊ｓｉｎ（（－２９＋２３）÷（－１３８））π＊ｓｉｎ（（－２９－２５）÷１５０）π
計算結果は、Ｙ＝０．００８２５５・・・となります．
Ｙ≠０なので、－２９は素数と判定します．
（－２９は２９と解釈してください）
《この判定式の問題点》
数式Ｙは、このままでは計算に手間がかかります．多分、エラトステネスの篩をつかって素数判定を行なうよりも手間がかかるでしょう．
そこで、数式Ｙがｓｉｎの積になっているので、倍角の公式を応用するとか、複素関数を応用すれば簡略化できるような気がしたんですけども、どうも上手く行かないんですね．それで、今のところ手詰まり状態です．と云う事で、今回はここまでとします．なにか閃いたら別途記事を投稿します．
（了）
―― 奥付 ――
題名：素数を判定する為のちょっとしたアイデア（ベータ版）
著者：茜町春彦
この数式Ｙが素数判定式です．
与えられた数Ｐを右辺に代入して、Ｙ＝０となればＰは合成数です．
Ｙ≠０であればＰは素数であると判定します．Ｐが、Ｐより小さい数の倍数になっていないからです．
例えばＰ＝９１の場合：
９１より小さい数は、－５、７、－１１、１３、－１７、１９、－２３、２５、－２９、３１、－３５、３７、－４１、４３、－４７、４９、－５３、５５、－５９、６１、－６５、６７、－７１、７３、－７７、７９、－８３、８５、－８９です．
よって、素数判定式は次の通りです．
Ｙ＝ｓｉｎ（（９１＋５）÷（－３０））π＊ｓｉｎ（（９１－７）÷４２）π＊ｓｉｎ（（９１＋１１）÷（－６６））π＊ｓｉｎ（（９１－１３）÷７８）π＊ｓｉｎ（（９１＋１７）÷（－１０２））π＊ｓｉｎ（（９１－１９）÷１１４）π＊ｓｉｎ（（９１＋２３）÷（－１３８））π＊ｓｉｎ（（９１－２５）÷１５０）π＊ｓｉｎ（（９１＋２９）÷（－１７４））π＊ｓｉｎ（（９１－３１）÷１８６）π＊ｓｉｎ（（９１＋３５）÷（－２１０））π＊ｓｉｎ（（９１－３７）÷２２２）π＊ｓｉｎ（（９１＋４１）÷（－２４６））π＊ｓｉｎ（（９１－４３）÷２５８）π＊ｓｉｎ（（９１＋４７）÷（－２８２））π＊ｓｉｎ（（９１－４９）÷２９４）π＊ｓｉｎ（（９１＋５３）÷（－３１８））π＊ｓｉｎ（（９１－５５）÷３３０）π＊ｓｉｎ（（９１＋５９）÷（－３５４））π＊ｓｉｎ（（９１－６１）÷３６６）π＊ｓｉｎ（（９１＋６５）÷（－３９０））π＊ｓｉｎ（（９１－６７）÷４０２）π＊ｓｉｎ（（９１＋７１）÷（－４２６））π＊ｓｉｎ（（９１－７３）÷４３８）π＊ｓｉｎ（（９１＋７７）÷（－４６２））π＊ｓｉｎ（（９１－７９）÷４７４）π＊ｓｉｎ（（９１＋８３）÷（－４９８））π＊ｓｉｎ（（９１－８５）÷５１０）π＊ｓｉｎ（（９１＋８９）÷（－５３４））π
計算結果は、Ｙ＝０となるので、９１は合成数と判定します．
例えばＰ＝－２９の場合：
－２９より小さい数は、－５、７、－１１、１３、－１７、１９、－２３、２５です．
よって、素数判定式は次の通りです．
Ｙ＝ｓｉｎ（（－２９＋５）÷（－３０））π＊ｓｉｎ（（－２９－７）÷４２）π＊ｓｉｎ（（－２９＋１１）÷（－６６））π＊ｓｉｎ（（－２９－１３）÷７８）π＊ｓｉｎ（（－２９＋１７）÷（－１０２））π＊ｓｉｎ（（－２９－１９）÷１１４）π＊ｓｉｎ（（－２９＋２３）÷（－１３８））π＊ｓｉｎ（（－２９－２５）÷１５０）π
計算結果は、Ｙ＝０．００８２５５・・・となります．
Ｙ≠０なので、－２９は素数と判定します．
（－２９は２９と解釈してください）
《この判定式の問題点》
数式Ｙは、このままでは計算に手間がかかります．多分、エラトステネスの篩をつかって素数判定を行なうよりも手間がかかるでしょう．
そこで、数式Ｙがｓｉｎの積になっているので、倍角の公式を応用するとか、複素関数を応用すれば簡略化できるような気がしたんですけども、どうも上手く行かないんですね．それで、今のところ手詰まり状態です．と云う事で、今回はここまでとします．なにか閃いたら別途記事を投稿します．
（了）
―― 奥付 ――
題名：素数を判定する為のちょっとしたアイデア（ベータ版）
著者：茜町春彦
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