久麗爺の科学夜話

１． アキレスよ、亀を追い抜け。ただし、数学的に！

　むかしむか～～～し、今から２４００年ほど前のギリシャに、ゼノンと呼ばれる屁理屈屋がいた。
　彼は数学に精通していた。が、数学を現実世界に当てはめる時、いくつかの矛盾が生じると明らかにした。
　彼が指摘した矛盾の中で、最も有名なものが『最も速き者が、最も遅き者に追いつけない』とするもの。後に、『アキレスと亀の競争』に喩えられた。

　陸で最も遅き亀。陸で最も速きアキレス。競争をすることになった。
　亀にはハンデとして１００メートルが与えられた。アキレスは亀の１０倍も速く走れるのだ。
　スタート！
　たちまち、アキレスは１００メートルを走った。
　が、亀は１０メートルだけ前に進んでいる。
　亀の１０倍の速度で、アキレスは迫る。
　アキレスが１０メートルを走ると、亀は１メートル進んでいる。
　また、アキレスが１メートル走ると、亀は１０センチ進んでいた。
　さらに、アキレスが１０センチ走ると、亀は・・・
　・・・
　こんな事の繰り返しで、アキレスは決して亀に追いつけず、決して追い抜けない。

　これが『ゼノンの逆理・アキレスと亀のパラドックス』だ。

　さあ、このパラドックスを検証してみよう。
　Ａ地点からＢ地点へ移動する。これを数学的に表すと、３個の変数がからむ問題と分かる。

　１．Ａ地点からＢ地点までの距離
　２．Ａ地点からＢ地点までかかる時間
　３．Ａ地点からＢ地点まで移動する速度

　（距離）＝（時間）Ｘ（速度）
　３個の変数は上記のように関係している。

　先ほどの競争では、３個の変数から『時間』が抜け落ちている。なので、時間と関わりの深い『速度』は相対表現となっている。
　移動を２個の変数だけで処理しようとするところに、この議論のパラドックスが見えてくる。

　なぜ、ゼノンの逆理から『時間』は抜かれていたのか？
　実は単純な事で、ゼノンの生きていたギリシャ時代には『時間』の概念が未成熟だったから。
　ギリシャ時代の時間の最小単位は『１日』だ！
　日の出から日没までが、１日。日の入りから日の出までが、１夜。特殊な場合として、日の出から太陽が真上に来るまで、真上の太陽が沈むまでの『半日』が使われていた。
　なので、ギリシャ時代に、移動にまつわる３個の変数を使って議論するならば、以下のようにしなければならない。

　アキレスは１日に４０キロを走る。
　亀は１日に１キロを行く。
　アキレスと亀が、エジプトのカイロから、ギリシャのアテネへ競争した。亀にはハンデが与えられ、アテネ寄り１００キロの地点からスタートする。
　３日目、アキレスは亀に追いつき、追い越している。

　全く矛盾無く議論できた。
　が、これを競技場の中でやると、議論が成立しなくなる。
　アキレスも亀も、当時の時間の最小単位、１日の中でスタート地点からゴール地点まで行ってしまう。
　誰の目にも、アキレスが速いのは確実なのに、数学的に証明できない。
　アキレスと亀の競争で、状況を限定しない普遍的な数学の議論が成立しない時代であった。

　分や秒を測れる時計ができた時、自然と、このパラドックスは解決するのだ。

　ところで、１９６４年の東京オリンピックまで、陸上や水泳の記録は手動のストップウオッチを使って測っていた。
　なので、世界記録は０．５秒きざみだった。３人の記録審判が同時にストップウオッチを押すのだが、これ以上の精度を出すのは不可能な時代であった。
　当時、１００メートル走の世界記録は１０．０秒だ。これを上回る新記録を出すには、９．５秒のタイムを出す必要があったのだ。ウサイン・ボルトだって、こんなタイムでは走れない。当時の選手はかわいそうだね。
　時間的には同着だが、写真判定により、胸の差で・・・そんな風に、１位と２位が決定していた。テレビアニメ『魔法のプリンセス・ミンキーモモ』には、写真判定により舌の差で・・・なんてギャグがあったな。

　東京オリンピックで、一部の競技に試験的に電気時計が導入されていた。
　１００メートル走の準決勝で、アル・ヘイズが９．９秒を記録した。が、まだ当時の電気時計は信頼性が低く、参考記録とされた。
　でも、これが転機となり、公式記録は０．１秒きざみの時代が訪れる。
　現代では、０．０１秒の差まで公式記録とされる。

　冬のスポーツの花形、ノルディックジャンプの飛距離は５０センチ刻みとなっている。着地斜面に審判が並び、着地を見守る。５０センチより密に審判を置けないので、これより精密に飛距離を出せない。飛距離に差が付けられないから、飛形点なんて基準を作ってごまかしている。
　が、高解像度の高速撮影ビデオが開発されている。飛距離を１０センチ以下の刻みで判定できる時代が目の前に来ている。そうなれば、飛形点なんて訳の分からないものは要らない。選手や観客が受け入れられるか、それが問題となるけど。

　ひねくれ屋は、現代における『アキレスと亀の競争』を探す。
　電子とニュートリノが１００メートル競走をした、どっちが速い？
　・・・
　残念ながら、現代の技術では、たった１個の電子やニュートリノの位置と速度を同時に確定する事は・・・不可能。不確定性原理と言う魔物が競争の観測にベールをかける。
　数億個とかの粒子群なら観測できる。でも、群の先頭を測ったのか、中ほどか、最後尾か、そこが判別できない。

　探せば、どんな分野に『アキレスと亀の競争』が潜んでいるか。それを見つけるのも科学である。