会社を辞めたらどうなるの？

退職時にまとめて納付しなければならない住民税

住民税は、前年の所得をもとに計算された６月から翌年５月までの税額なので、退職月が５月でない場合には、退職月から５月までの住民税をまとめて納付しなければなりません。

仮に、３月３１日付けで退職した場合は、４月・５月分の住民税をまとめて納付することになります。
１２月３１日付けで退職した場合は、１月から５月までの５か月分の住民税をまとめて納付することになります。

では、５月３１日付けで退職すれば負担が減ると考えるのは早計です。
失業によって、６月以降の住民税の支払いが困難になる場合に、減免申請をすれば、住民税の減額が可能ですが、減免申請は５月中に行わなければならないからです。