代数学概論

抽象代数学（１）群

抽象代数学とは、今まで学んできた様々な数の括り・演算を今一度整理して考え直すことで、新しいことを発見しようとする学問です。
今述べた『括り』の事を小難しく代数的構造と呼びます。
今回は、代数的構造の最も基本に当たる概念：群について解説していきたいと思います。

まず、二つの数を在る方法で合わせて新しい値を導き出す演算：二項演算(+,-,×,÷)について考えます。
二項演算のうち加法(+)を例に出します。
まずは次の計算が正しいか考えてください。
（１＋２）＋３＝１＋（２＋３）
ただし、ここでの括弧は『こっちを先に計算してね』というサインです。
まぁ、当たり前に左辺も右辺も６となって、さっきの式は成り立ちます。
これは任意の数において（どのような数でも）成り立ちます。
例えば、ある集合（数をかき集めて袋に入れたような状態）の中にある三つの数a, b, cについて、
(a + b) + c = a + (b + c)
が成り立つとしましょう。
この法則を結合法則といいます。

また、『二つの数aとeに二項演算を施してもaに戻る』ような数eを『単位元』といいます。
加法(+)なら0です。
乗法(×)なら1です。

最後に、『二つの数aとxに二項演算を施したら単位元eになる』ような数xをaの逆元といいます。
加法(+)ならaの逆元は(-a)。
乗法(×)ならaの逆元は1/a。

さて、ここでようやく群の定義についてお話しできます。
ある集合（数の入った袋）に入った数a,b,c,...の内からどの数を選んでも次の条件が成立すればその集合には『群』という名前が付けられます。ただし、＋は×に変えてもいいです。
（１）a+(b+c)=(a+b)+c 【結合法則】
（２）a+e=aを満たすeが集合の中に存在する 【単位元の存在】
（３）a+x=eとなるxが集合の中に存在する 【逆元の存在】

では、ここで拡張概念についてお話をします。さっきの条件の内（１）を満たすものを『半群』、（１）と（２）を満たすものを『モノイド』といいます。

そして、次の条件をさっきの三つの条件に加えて満たせる集合は『アーベル群』と呼ばれます。
（４）a+b = b+a 【交換法則】

一応言っておきますが、以上の条件を満たせる二項演算は＋か×だけなので、その点にも注意してください。

次回は環・可換環・体についてお話しします。今日はこの辺で。