代数学概論

初等代数学（１）実数

初等代数学とは、私たちが用いる数と、その拡張について議論し、研究するものです。では、スタート。

（１）自然数
まずは普通に使う数：1,2,3,...について考えてみます。これは自然数と呼ばれ、無限に存在します。そして、物の個数を数えるときに用いられ、最も基本的な数です。

（２）小数
これは、自然数では表せない『半分』とかを表すために用います。十個集めると１になる0.1や、百個集めると１になる0.01、（無限に小さな数を定義できる）、その自然数倍を用います。

（３）分数
これは、小数を『何個集めるといくつの自然数になるか』という観点から考えたものです。例えば、2/3は『３個集めると２になる数』、すなわち小数表示では0.666...となります。分数を用いるメリットは、計算をしたり、數を表す際に、ピンときやすかったり、作業しやすい点です。『このケーキの0.666...倍ちょうだい』といわれるより『このケーキの2/3ちょうだい』といわれる方が分かりやすいでしょう。

（４）ルート
これは、何かを『数える』のとは別な見方が必要です。たとえば、一辺1cmの正方形。この対角線の長さを考えると、これって自然数でも分数でも表せないのです。では、どんな数なのでしょうか。まず、正方形の面積を考えます。今回は1cm^2です。次に、正方形をひし形に見立てて、面積を求めます。（対角線）^2 ÷2 なので、さっき求めた面積：1と等しいはずであることから、（対角線）^2 = 2という式が立ちます。この対角線はさっき述べたように分数でも自然数でも表せません。『√2(ルート２)』という記号で表します。この『√』をルートと呼びます。

（５）負の数
これは以下の問いに答えるために開発されたようなものです。
『３から２を引いたら１ですよね、じゃあ２から３を引いたらいくらなの？』
皆さん、答えをご存じの方も多いでしょう。『ー１』です。ただ、この負の数というのにも色々あって、負の分数とか負の小数とかがあります。ここで、一つ用語を紹介します。さっきの自然数：1,2,3,...と0と負の数：-1,-2,-3,...を併せて『整数』と呼びます。

（６）有理数
これは、単純な話です。正負の分数で表せる数の事です。まぁ、根本的に言えば2/1 = 2だって立派な分数なので、すべての整数を含むことになります。まとめると『有理数＝正負の分数』ということです。

（７）無理数
これは、簡単に言えば『有理数以外の数』です。例えば、さっき述べた√2もこの内に入ります。あと、円周率π(パイ)もこの部類に入ります。

（８）実数
有理数と無理数を併せてこう呼ぶ、というだけです。

今日はこの辺で。次回からは、『虚数』についてお話しします。