代数学概論

抽象代数学（２）環・体・可換環

さて、今回は環・体・可換環についてお話しします。
まずは前回紹介した『群』の復習をします。
群とは以下の条件を満たすもの。
（１）結合法則を満たす
（２）単位元が存在する
（３）逆元が存在する
更に、次の条件を満たすものを『アーベル群』という。
（４）交換法則が成立する
今回はこれらを用いて新しい概念について解説します。
まずは、アーベル群（加法について条件を満たす）に、もう一つの演算：＊で以下の条件を満たすものを『環』と呼ぶ。ただし、a,b,cは環（集合の一つ）の中に含まれる数です。
（１）a＊(b＊c)=(a＊b)＊c 【結合法則】
（２）a＊(b +c)=(a＊b) + (a＊c) 【分配法則１】
（３）(a + b)＊c=(a＊c) + (b＊c) 【分配法則２】
この＊というのは、乗法（×）で考えることが多いですが、違う場合もあるのでご注意を。
さて、ここで次の条件を追加で満たせば環は『単位的環』（単位元を持つ環）にパワーアップします。
そして、新しい演算：＊についても交換法則が成立する場合、これを『可換環』といいます。
（４）単位元が存在する
環とはこれだけのことです。ただ、環という概念を導入すると様々なことが整理できます。
例えば、私たちが用いている数や式というのは、交換法則・分配法則・結合法則が成り立つという前提で考えているので、普通、数といえば環の要素であると言っても過言ではないでしょう。
とはいえ、私達は大切な要素を忘れています。
『減法(-)・除法(÷)ができない』ということです。
今まで、加法・乗法についてばかり考えていて、減法・除法の事を考えていませんでした。
そして今、環の条件に『減法・除法が出来る』という条件を追加したものこそ、『体』です。
有理数も実数も複素数も体の一種です。
ここで、体の特徴をまとめておきます。
（１）分配法則が成立する
（２）交換法則が成立する
（３）結合法則が成立する
（４）四則演算ができる
ここで結構、『代数的構造』の習得はできたと思います。小難しい概念は？といえば色々ありますが、『代数学「概論」』という題名で書いている分には十分でしょう。これでこのシリーズはおしまいです。ありがとうございました。