微分幾何学

逆に、滑らかな多様体は位相多様体と比較すればより厳しい構造をもっている。ある種の位相多様体は滑らかな構造を持ち得ない（ドナルドソンの定理）し、ある種のものは相異なる複数の滑らかな構造を持ちうる（例えば異種球面）。滑らかな多様体にから得られる構成のうち、接束のように（追加の考察をすることで）位相多様体に対しても実現可能なものもあるが、そうでないものもある。
十九世紀の初めから中頃まで微分幾何は外在的な視点に立って研究されていたといえる。つまり、（曲面としてはじめから三次元の空間の中に実現されているものを考えるように）曲線や曲面はより高い次元のユークリッド空間の中におかれたものだと見なされていた。特に単純な部分は曲線の微分幾何学に関する結果である。
これに対し、リーマンによる研究を基点として内在的な、問題にしている幾何学的対象を一個の自立したものとして考えてその「外に出る」ことを要請しないような視点が発展させられた。この内在的な視点はより柔軟なものであり、例えば相対性理論において時空（その「外側」の意味は全く明らかではない）を外在的な方法によっては自然に捉えられないような状況で便利になる。しかし内在的な視点のもとでは曲率や接続などの中心的な概念を定義することが見かけ上困難になるという代償を払わなければならない。
これら二つの視点は融和させることが可能で、外在的な幾何とは内在的に定められた幾何学的対象に付加的な構造を付与することだと考えることができる。ナッシュの埋め込み定理もぜひ参考にしてください。