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Ⅰ、公理より
1+0＝1
0(1+0)＝0･1
0･1+0･0＝0･1
よって0･1は0･0を足しても変わらない
Ⅱ、k+0＝kが成り立つと仮定すると
k+0+1＝k+1
(k+1)+0＝k+1
0{(k+1)+0}＝0(k+1)
0(k+1)+0･0＝0(k+1)
よって、(k+1)に0･0を足しても変わらない
Ⅲ、ⅠⅡより、帰納法より0･0はどんな自然数に足してもその数を変化させない数である。また、これに該当する数は0なので、
0･0＝0
である
Ⅳ、
0･0を一つの文字と見なしたとき、係数は1なので
0･0＝1･0･0
この0･0にⅢを代入すると
0＝1･0
となる
ゆえに、1×0＝0である
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