雑記

(2)eについて

ａn_=(1+1/n)^nとすると

二項定理より
ａn_
=(1+1/n)^n
　n
=Σ_nＣk_(1/n)^k
　k=0
　　n
=1+Σ_nＣk_(1/n)^k
　k=1
　　n
=1+Σ(_nＰk_/k!)･(1/n)^k
　k=1
　　n
=1+Σ(1/k!)(1-1/n)(1-2/n)…{1-(k-1)/n}
　k=1
…①　

ａn+1_についても同様に
ａn+1_
　n+1
=1+Σ(1/k!){1-1/(n+1)}…{1-(k-1)/(n+1)}
　k=1
…②

┌1-(k-1)/n=1-(k-1)/(n+1)
│(k=1)
│1-(k-1)/n＜1-(k-1)/(n+1)
└(k＜2)

だから、
ａn_＜ａn+1_
よってａn_は単調増加列