雑記

(1)x,yによる表示

【x,yによる表示】

グラフy=f(x)の、微小区間x～x+dxについて考える。

このとき、yの区間は、y～y+dyになるとする。

　↑y　　　　y=f(x)　　　　
　│　　　　　　　,　　　　
　│　　　　,　'　　'　･　'
　│　dl↗･↑dy
　│　　･→　
　│　･　　dx
　│･　
・│　　　　　　　　　　x
　┼──────────→
Ｏ│　
　│

微小区間に切ったグラフの長さdlは、

dl=√{(dx^2+dy^2)}…①

dy=f'(x)dxより①は、

dl=√[dx^2+{f'(x)dx}^2]
　=√[dx^2+{f'(x)}^2･dx^2]
　=√[1+{f'(x)}^2]･dx

よって
グラフ長Lは、
L＝∫dl
　=∫√[1+{f'(x)}^2]･dx