雑記

(2)媒介変数による表示

【媒介変数による表示】

グラフ
┌x=f(t)
└y=g(t)

の、区間t～t+dtについて考える。

このとき、x,yはそれぞれ、

x～x+dx,y～y+dyと変化するものとする。

　↑y　　　　y=f(x)　　　　
　│　　　　　　　,　　　　
　│　　　　,　'　　'　･　'
　│　dl↗･↑dy=(dy/dt)dt
　│　　･→　
　│　･　　dx=(dx/dt)dt
　│･　
・│　　　　　　　　　　x
　┼──────────→
Ｏ│　
　│

微小区間に切ったグラフの長さdlは、

dl=√{(dx^2+dy^2)}…①

┌dx=(dx/dt)dt
└dy=(dy/dt)dt

より①は、
dl=√[{(dx/dt)dt}^2+{(dy/dt)dt}^2]
　=√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}･dt

よって
グラフ長Lは、
L
=∫dl
=∫√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}･dt