雑記

(3)極座標による表示

【極座標系への変換】

r=f(θ)のグラフのグラフ長について考える。

　↑y　　　　r=f(θ)　　
　│　　　　　　　,　　　
　│　　　　,　'　　'・　
　│　dl↗･↑dy　　　　',
　│　　･→　　　　　　　･
　│　･　　dx
　│・　
　│．　　　　　　　　　　x
　┼──────────→
Ｏ│　
　│

極座標と直交座標との間には、
┌x=rcosθ
└y=rsinθ

の関係がある。
(一般にrは一定ではない)

両辺をθで微分し、
┌
│dx/dθ
│=(dr/dθ)cosθ-rsinθ
│　
│dy/dθ
│=(dr/dθ)sinθ+rcosθ　
└　

両辺2乗して足すと、
(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2
=(dr/dθ)^2+r^2…①

前ﾍﾟｰｼﾞ(ii)より、媒介変数θによるグラフ長は、

L=∫√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}･dθ

と表せるから①より、

L=∫√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}･dθ
⇒　
L=∫√{(dr/dθ)^2+r^2}dθ