高校数学って難しい

第1問

(解答例)
与式は

(α+β-1)αβ=24　　…①

と変形できる。ここで

s=α+β
t=αβ

とおくと、①は

(s-1)t=24

s,tはともに正の整数であるから、これを満たす(s,t)の組は

(s-1,t)=(1,24)(2,12)(3,8)(4,6)(6,4)(8,3)(12,2)(24,1)

より

(s,t)=(2,24)(3,12)(4,8)(5,6)(7,4)(9,3)(13,2)(25,1)　　…②

①より、(α,β)は二次方程式

x^2-sx+t=0　　…③

の解であることに注意する。
②の組の中で③の解が正の整数となる組は

(s,t)=(5,6)

だけである。これを③に代入すれば

x^2-5x+6=0
すなわち
(x-2)(x-3)=0

であるから、この解は
x=2,3
である。

したがって、求める(α,β)の組は

(α,β)=(2,3)(3,2)　　…(答)

である。