高校数学って難しい

第2問

(解答例)
任意の実数tを一つ選ぶことにより、与えられた方程式により表される2直線は存在する。
逆に、与えられた方程式によって表される直線が存在するためには、tが実数でなければならない。

つまり、tが実数になるようなx,yの条件が、与えられた2直線の存在しうる条件である。
よって、2直線の通過することのない領域を求めるには、tが実数とならない条件を考えればよい。
ここで、与式をtについて整理すると

t^2-2xt+y=0　　…①
t^2-2yt+x=0　　…②

それぞれの判別式をD_1,D_2とすると

D_1=x^2-y
D_2=y^2-x

である。tが実数とならないための条件は

D_1=x^2-y<0 かつ D_2=y^2-x<0

すなわち

x^2<y かつ y^2<x

である。また問題文より境界は含まれるから、求める領域の条件は

x^2≦y かつ y^2≦x

である。これを図示するとページ下の写真のとおり。

よって求める面積は

2∫<0~1>(x-x^2)dx=2[x^2/2-x^3/3]<0,1>
　　　　　　　　 =2(1/2-1/3)
　　　　　　　　 =1/3　　…(答)

ここで、y=x^2とx=y^2がy=xに関して対称であることを利用した。