高校数学って難しい

第2問

例えばt=2を代入してみましょう。
すると2直線の方程式はそれぞれ

4x-y-4=0
x-4y+4=0

とそれぞれ定まります。
このように、それぞれのtに対して、必ず一つの直線が一つ定まるわけです。

では逆に点(1,3)を通る直線は存在するでしょうか。この点の座標を方程式に代入してみましょう。すると

2t-3-t^2=0
1-6t+t^2=0
つまり
t^2-2t+3=0　　…①
t^2-6t+1=0　　…②

と、tの2次方程式になります。この方程式を満たす実数tが存在しなければ、点(1,3)を通る直線は存在しないことになります。

そこで判別式を使って調べてみましょう。

①,②の判別式をそれぞれD_1,D_2とすると

D_1=1-3=-2<0
D_2=3^2-1=8>0

となりますから、第一式により表される方程式は(1,3)を通らず、第二式により表される方程式は(1,3)を通ることが分かります。

解答例では、このようにxy平面上のある点についてtの2次方程式の判別式を調べたように、xy平面上の任意の点(x,y)についてtの2次方程式の判別式を調べた訳なのです。