高校数学って難しい

第3問

(2)は、(1)の結果がDの媒介変数表示であることを利用して積分計算します。

媒介変数表示された関数の積分計算は教科書に載っている基本事項なので、身に付いているか確認しましょう。

さて、そのまま計算を続けていくと、(sinθ)^3の積分になります。もちろんこのまま計算することは出来ないので工夫することが必要です。

この積分を見たときにすぐに思いつかなければならないのは、3倍角の公式です。
つまり

sin(3θ)=3sinθ-4(sinθ)^3

より

4(sinθ)^3=3sinθ-sin(3θ)

となります。こうすればsinθもsin(3θ)も容易に積分できますから、問題は解決です。

三角関数の積分では、このような工夫が必要になることがしばしばです。
積和公式などは、要確認です。