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2･4 不等式の証明
◆実数の性質
任意の実数aについて、a^2≧0が成り立つ。
◆相加平均と相乗平均の関係
a,bが正の数のとき
(a+b)/2≧√(ab) すなわち a+b≧2√(ab)
等号はa=bのときに限って成り立つ。
（証明）
(a+b)/2-√(ab)
={a+b-2√(ab)}/2
={(√a)^2-2√a√b+(√b)^2}/2
={(√a-√b)^2}/2≧0
したがって(a+b)/2≧√(ab)
ここで、等号は√a-√b=0
すなわちa=bのときに限って成り立つ。
【例題】a＞0,b＞0のとき、(a+1/a)(b+1/b)≧4であることを証明せよ。また、等号が成り立つ場合を調べよ。
（証明）
相加平均と相乗平均の関係から
a+1/a≧2√(a･1/a)
∴a+1/a≧2 (1)
b+1/b≧2√(b･1/b)
∴b+1/b≧2 (2)
(1),(2)を辺々掛けると
(a+1/a)(b+1/b)≧4
等号は(1),(2)で等号が成り立つときである。
したがって、a=1/a,b=1/bすなわちa=1,b=1のときに限って等号が成り立つ。
とっても見づらくてごめんなさい＞＜；
分かりづらいし面倒なのよね、この問題…私は嫌いです☆←
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